Ako odvodiť celkovému objemu o Hypersphere

Len kruh je množina všetkých bodov v dvojrozmernom rovine v rovnakej vzdialenosti od centrálneho bodu a guľa je množina všetkých bodov v troch dimenziách v rovnakej vzdialenosti od centrálneho bodu , v matematike existujú podobné štruktúry , tzv hyperspheres , vo viacrozmerných priestoroch väčší ako tri , ktoré sú množina všetkých bodov v rovnakej vzdialenosti od centrálneho bodu . V dôsledku toho , rovnako ako k celkovému objemu gule v troch rozmeroch môžu byť odvodené na počte , takže môže integrálne objemy týchto viacrozmerných údajov . Pokyny dovolená 1

Definujte súradnicový systém , ktorý bude použitý v probléme . Hoci každá súradnicový systém možno pracovať , variácie na sférických polárnych súradniciach funguje najlepšie . Ako príklad , v n- rozmerného priestoru , definovať r ako vzdialenosť do stredu , theta ako azimutálnej uhol a phi1 , phi2 , ... phi (n - 2 ) ako uhlových súradníc v rozmedzí od 0 do pi radiánoch .
2

Uvedie sa základný objem neoddeliteľnou po celej hypersphere . To bude neoddeliteľnou od 0 do nejakého polomeru R pre r , a cez celý rozsah možných uhlov pre každú uhlovú súradnicu , 0 až 2Pi pre theta a 0 až pi zostávajúcich premenných . Viacnásobné integrály sú prevzaté z 1 cez objemovom prvku .
3

Nahraďte element objemu s príslušnými podmienkami vypočítaných z Jacobian determinant . Napríklad , pre hypersphere v štyroch rozmeroch , to bude : .

R ^ 3 sin ^ 2 ( phi1 ) sin ( phi2 ) dr dphi1 dphi2 dtheta

Ďalšia pomoc výpočtovej Jacobian , viď príslušný odkaz prostriedkov .
4

Zapíšte konečnú odpoveď po prijatí každej neoddeliteľnou v rade . V našom príklade štvorrozmerného hypersphere konečná odpoveď je : .

( Pi ^ 2 /2 ) * polomer ^ 4